APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS EN LA TERMODINÁMICA Y TRANSFERENCIA DE CALOR

INTRODUCCIÓN A LA TERMODINÁMICA

Si buscamos una definición sencilla de termodinámica podemos encontrar que la termodinámica es la rama de la física que estudia la energía, la transformación entre sus distintas manifestaciones, como el calor, y su capacidad para producir un trabajo.
La termodinámica hace amplio uso del cálculo diferencial e integral, especialmente de las derivadas parciales. Las expresiones deducidas en termodinámica aplicando la derivación parcial son muy útiles, ya que el comportamiento de un sistema que no sea susceptible de medición directa puede describirse mediante las expresiones obtenidas por derivación parcial o el uso de herramientas virtuales. (Quiñones, 2006:1423).
La derivada de una función es la razón de cambio de una variable, de forma gráfica es la tangente a la curva en un punto. Así la velocidad de un móvil es la distancia recorrida respecto al tiempo; en el caso del hombre si la meta es que cambie el peso, ésta es la única variable que cambia, no así las otras consideradas (si por bajar de peso hace dieta hecho que incide en su peso, no así en su talla), en consecuencia ésta es una derivada parcial.
En las ecuaciones de estado por ejemplo PV=nRT las derivadas parciales ayudan a determinar el efecto que el cambio en una de las variables de estado provoca en otra de ellas, para conseguir esto necesitamos de las herramientas del cálculo.
DERIVADAS PARCIALES Y LEYES DE LOS GASES
En la ecuación de estado PV=nRT supongamos que necesitamos conocer la forma en que varia la presión con respecto a la temperatura T suponiendo que el volumen Vy el número de moles n en nuestro sistema gaseoso permanece constante. Esta interrogante que nos interesa la podemos escribir con una derivada parcial:(Levine, I. 2004:23).

Es posible construir diversas derivadas parciales que relacionen las diferentes variables de estado de un gas ideal, algunas de las cuales son más útiles o fáciles de entender que otras, no obstante la derivada de R es cero ya que R es una constante (Bonilla, 2006:65).


Si tomamos una muestra de un gas ideal y medimos su presión P a diferentes temperaturas T a volumen constante y trazamos la grafica, obtenemos una recta cuya pendiente es (nR/ V) es decir la derivada. (Acevedo, R. & Costas, 2007:174). Luego el cambio de presiónrespecto a la temperatura T es {dpi dT)V,n,R = V/nR.

Si A es función de dos variables B y C representada A(B,C) y ambas variables B y C son funciones de las variables D y E representado B(D,E) y C(D,E), entonces la regla de la cadena para las derivadas parciales es:



En los casos de PVT podemos aplicar este concepto; dada una cantidad de gas, la P depende de Vy T:P(V,T) y el volumen depende dePy T: V(P,T) y la temperatura depende de P y V: T(P,V). En el caso de cualquier variable de estado general de un gas F la derivada total de esta con respecto a la temperatura T a P constante, es:


 

El termino la derivada de una variable respecto a si misma es 1, en otro caso 0.
Si F es la presión P entonces puesto que P se mantiene constante. La expresión anterior se convierte en:


Podemos reordenar esta expresión

 

Observe que cada término incluye PVT; si se conoce cualquiera de las dos derivadas, se puede determinar la tercera.

El coeficiente de expansión de un gas ideal a se define como el cambio en el volumen conforme la temperatura cambia a presión constante, la expresión incluye el factor 1/v:





La compresibilidad isotérmica de un gas representado con la letra K es el cambio del volumen conforme varía la presión a temperatura constante con factor 1/V:


Siguiendo el procedimiento anterior, para un gas ideal se demuestra que K=nRT/VP2





Ya que las dos definiciones utilizan PVT se tiene (dp / dr)V = a / T, en efecto:




Estas expresiones son de interés cuando es imposible mantener el volumen de un sistema constante. La derivada del volumen constante puede expresarse en términos de derivadas a temperatura y presión constantes, dos condiciones fáciles de controlar en laboratorio. (Bonilla, 2006:67-68).
Una propiedad termodinámica cuyo cambio durante el proceso depende de la trayectoria no es una función de estado. Las funciones que no son de estado se representan con letras minúsculas, tales como el trabajo w y el calor q. (Atkins, 2008:57) Existe otra diferencia en lo que se refiere a las funciones de estado. Cuando se presenta una variación infinitesimal en un sistema, las variaciones infinitesimales en el trabajo w y el calor q y la energía interna se representan así: dw, dq, dU respectivamente. En un proceso completo estos cambios infinitesimales se integran desde las condiciones iniciales hasta las finales. Hay una diferencia en la notación: cuando se integran dw, dq el resultado es la cantidad absoluta de trabajo wyde calor q asociados al proceso. Pero cuando se integra dU en resultado no es U absoluto sino el cambio en .


La misma relación existe para las otras funciones de estado. Las diferenciales son diferenciales inexactas, significa que sus valores integrados w y q dependen de la trayectoria.
En cambio dU es una diferencial exacta, quiere decir que su valor integrado AU es independiente de la trayectoria. Todos los cambios en las funciones de estado son diferenciales exactas. (Atkins, 2008:58)

INTRODUCCIÓN A TRANSFERENCIA DE CALOR 

La transferencia de calor, en física, proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante convección, radiación o conducción. Aunque estos tres procesos pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a través de la pared de una casa fundamentalmente por conducción, el agua de una cacerola situada sobre un quemador de gas se calienta en gran medida por convección, y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiación.

El calor puede transferirse de tres formas: por conducción, por convección y por radiación. La conducción es la transferencia de calor a través de un objeto sólido: es lo que hace que el asa de un atizador se caliente aunque sólo la punta esté en el fuego. La convección transfiere calor por el intercambio de moléculas frías y calientes: es la causa de que el agua de una tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte inferior esté en contacto con la llama. La radiación es la transferencia de calor por radiación electromagnética (generalmente infrarroja): es el principal mecanismo por el que un fuego calienta la habitación.

PRINCIPIO DE TRANSFERENCIA DE CALOR

- El calor transferido tiene una dirección así como también una magnitud

- La tasa de conducción de calor en una dirección especificada es proporcional al gradiente de temperatura , el cual es el cambio de temperatura por unidad de longitud.

CONDUCCIÓN DE CALOR

- La conducción de calor o transmisión de calor por conducción es un proceso de transmisión 

de calor basado en el contacto directo entre los cuerpos, sin intercambio de materia.

- El calor fluye desde un cuerpo de mayor temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto con el primero.

LEY DE FOURIER

Establece que el flujo de transferencia de calor por conducción en un medio isótropo es proporcional y de sentido contrario al gradiente de temperatura en esa dirección. 

De forma vectorial:

De forma integral:

TRANSFERENCIA DE ENERGÍA

Si se expresa la ley de la conservación de la energía en su forma mas elemental, 

energía que entra menos la energía que sale mas la energía que se genera menos la energía que se consume es igual a la energía que se acumula, se obtiene la siguiente ecuación diferencial: 

haciendo las sustituciones respectivas, y reordenando adecuadamente los términos:




finalmente se obtiene la ecuación en coordenadas cartesianas:



CONCLUSIONES

Gracias al inmeso campo de las matemáticas se ha logrado asignar muchas de las fórmulas que hoy en dia se usa para los cálculos de la termodinámica y la transferencia de calor, siento las ecuaciones diferenciales exactas las que han logrado llegar a la facilidad para deducir expresiones matemáticas con derivadas parciales siento esto uno de los principales recursos de las matemáticas de la termodinámica. Estas constituyen una herramienta útil; es cierto que puedan tornarse complejas; sin embargo, podemos saber y decir mucho sobre un sistema con la ayuda de estas herramientas, y en última instancia, esto constituye la esencia de la fisicoquímica.